Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，，點是橢圓上一點，以為直徑的圓：過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且斜率大于0的直線與的另一個交點為，與直線的交點為，過點且與垂直的直線與直線交于點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)先求出點的坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求出的值，即得橢圓方程；

(2)設(shè),，將直線的方程代入橢圓方程求出，進(jìn)而表示出的面積，再利用基本不等式求出最小值.

解：(1)在圓的方程中，令，得到：，

所以，，

又因為且，所以點坐標(biāo)為，

所以，則，，

因此橢圓的方程為；

(2)設(shè)直線：，

所以點的坐標(biāo)為，

設(shè)，，將直線代入橢圓方程得：

，

所以，所以，

直線的方程為，所以點坐標(biāo)為，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

綜上，面積的最小值.