【題目】已知函數(shù).

(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)于任意都有成立,試求的取值范圍;

(3)記.當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【答案】1)單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.23

【解析】

(1)先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a,在定義域內(nèi),再求出導(dǎo)數(shù)大于0的區(qū)間,即為函數(shù)的增區(qū)間,求出導(dǎo)數(shù)小于0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間.

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最小值,要使fx)>2(a﹣1)恒成立,需使函數(shù)的最小值大于2(a﹣1),從而求得a的取值范圍.

(3)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出單調(diào)區(qū)間,再根據(jù)函數(shù)gx)在區(qū)間[e﹣1,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),得到, 解出實(shí)數(shù)b的取值范圍.

(1)直線(xiàn)的斜率為1, 函數(shù))的定義域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>,所以,所以,

所以,.

解得;由解得.

所以得單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.

(2)解得;由解得.

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值.

因?yàn)閷?duì)于任意都有成立,

所以即可.

,

,解得,

所以得取值范圍是.

(3)依題意得,則,

解得,由解得.

所以函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),

所以,解得.

所以的取值范圍是.

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II)當(dāng)邊界ADCD垂直,ABBC垂直時(shí),為后期開(kāi)發(fā)方便,擬在這塊空地上先建兩條內(nèi)部道路AE,EF,如圖(2)所示,點(diǎn)E在邊界CD上,且道路EF與邊界BC互相垂直,垂足為F,為節(jié)約成本,欲將道路AEEF分別建成水泥路、砂石路,每1km的建設(shè)費(fèi)用分別為、a元(a為常數(shù));若設(shè),試用表示道路AE,EF建設(shè)的總費(fèi)用(單位:元),并求出總費(fèi)用的最小值.

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