【題目】已知函數(shù)f(x)對于x,y∈R.
(1)若f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,當x>0時,f(x)>1且f(3)=4,
①求f(x)的單調性;
②f(x)在[1,2]上的最大值和最小值.
(2)若f(x)+f(y)=2f()f(),f(0)≠0,且存在非零常數(shù)c,使f(c)=0.
①判斷f(x)的奇偶性并證明;
②求證f(x)為周期函數(shù)并求出f(x)的一個周期.
【答案】證明:(1)①任取x1 , x2∈(﹣∞,+∞)且x1<x2 ,
則x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)>1,
則f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1),
故f(x)為R上的增函數(shù);
②∵f(x)為R上的增函數(shù),
∴f(x)在[1,2]上為增函數(shù),
則函數(shù)的最大值為f(2),最小值為f(1),
∵f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,
∴f(2)=f(1)+f(1)﹣1=2f(1)﹣1,
f(3)=f(1)+f(2)﹣1=f(1)+2(1)﹣1﹣1=3f(1)﹣2=4,
即3f(1)=6,則f(1)=2,
f(2)=2f(1)﹣1=2×2﹣1=4﹣1=3,
即函數(shù)在[1,2]上的最大值為f(2)=3,最小值為f(1)=2.
(2)①∵任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=,令x=y=0,
∴2f(0)=2f(0)f(0),
∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
令y=﹣x,可得f(x)+f(﹣x)=2f(0)f(x),
有f(﹣x)=f(x),
則f(x)為偶函數(shù)、
②∵f(2c+x)+f(x)=,
∵f(c)=0,∴f(2c+x)+f(x)=0,
即f(2c+x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣f(2c+x)=﹣[﹣f(2c+(2c+x))]=f(4c+x),
∴f(x)的周期為4c.
【解析】(1)①根據(jù)函數(shù)單調性的定義,結合抽象函數(shù)的關系進行證明.②利用函數(shù)的單調性的定義和最值之間的關系進行求解即可.
(2)①令x=0,y=0,并代入有 , 即可求出f(0)的值;令y=﹣x,代入求得f(x)+f(﹣x)=2f(0)f(x),即可證得結果;
②根據(jù)存在非零常數(shù)c,使f(c)=0及周期函數(shù)的定義得到f(2c+x)+f(x)==0,再驗證f(4c+x)=f(x)即可證明結論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)單調性的判斷方法(單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)為g(x)的導函數(shù),對x∈R,總有g′(x)>2x,則g(x)<x2+4的解集為 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上且以4為周期的奇函數(shù),當x∈(0,2)時,f(x)=ln(x2﹣x+b),若函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上的零點個數(shù)為5,則實數(shù)b的取值范圍是
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設集合A={x|﹣1≤x+1≤6},B={x|m﹣1≤x<2m+1}.
(1)當x∈Z,求A的真子集的個數(shù)?
(2)若BA,求實數(shù)m的取值范圍?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù),已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,f(1)= , 則下列結論正確的是( )
A.xf(x)在(0,+∞)單調遞增
B.xf(x)在(1,+∞)單調遞減
C.xf(x)在(0,+∞)上有極大值
D.xf(x)在(0,+∞)上有極小值
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.如圖是根據(jù)環(huán)保部門某日早6點至晚9點在惠農縣、平羅縣兩個地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)(單位:毫克/立方米)列出的莖葉圖,惠農縣、平羅縣兩個地區(qū)濃度的方差較小的是( )
A.惠農縣
B.平羅縣
C.惠農縣、平羅縣兩個地區(qū)相等
D.無法確定
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分別為棱AA1 , AC的中點.
(1)在平面ABC內過點A作AM∥平面PQB1交BC于點M,并寫出作圖步驟,但不要求證明;
(2)若側面ACC1A1⊥側面ABB1A1 , 求直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com