【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分別為棱AA1 , AC的中點.
(1)在平面ABC內(nèi)過點A作AM∥平面PQB1交BC于點M,并寫出作圖步驟,但不要求證明;
(2)若側(cè)面ACC1A1⊥側(cè)面ABB1A1 , 求直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值.

【答案】
(1)解:取BC中點M,連接AM,則AM∥平面PQB1;


(2)解:作QO⊥平面ABB1A1,與A1A延長線交于O,則AO=1,QO=

OB1= = ,∴QB1=

∵B1P=2,PQ=2

∴cos∠QPB1= =﹣ ,

∴sin∠QPB1= ,

= = ,

作PN∥C1A1,則直線A1C1與平面PQB1所成角=直線PN與平面PQB1所成角,

=2 ,∴ = =2,

設(shè)N到平面PQB1的距離為h,則 ,∴h= ,

∴直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值= =


【解析】(1)取BC中點M,連接AM,則AM∥平面PQB1;(2)作PN∥C1A1,則直線A1C1與平面PQB1所成角=直線PN與平面PQB1所成角,求出N到平面PQB1的距離,即可求直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對平面與平面垂直的判定的理解,了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

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B.2018年
C.2019年
D.2020年

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(2)求三棱錐P﹣ABC的體積.

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