【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若(其中)
(ⅰ)求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(ⅱ)證明:;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得在區(qū)間內(nèi)恒成立,且關(guān)于x的方程在內(nèi)有唯一解?請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(。;(ⅱ)證明見解析;(2)存在,理由見解析.
【解析】
(1)(。┣蟮的導(dǎo)函數(shù),判斷出的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)與在的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得的范圍;
(ⅱ)將證明成立,轉(zhuǎn)化為證:,結(jié)合在上的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為證,結(jié)合換元法以及導(dǎo)數(shù)的工具作用證得上述不等式成立,由此證得成立.
(2)構(gòu)造函數(shù),首先判斷出,利用求得的可能取值為.利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí),在區(qū)間內(nèi)恒成立,且關(guān)于x的方程在內(nèi)有唯一解.
(1)(。┙猓
在遞增,遞減,且
又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
(ⅱ)由(。┲,
要證:成立,只需證:
在遞增,故只需證:
即證:
令,只需證:,即證:
令,,.證畢
(2)令
,且需在區(qū)間內(nèi)恒成立
,可得
事實(shí)上,當(dāng)時(shí),,下證:
法一:,
令,則在單調(diào)遞減,
由于,,
存在使在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,且.
,
在遞減,遞增,,
在區(qū)間內(nèi)恒成立,
當(dāng)時(shí),在區(qū)間內(nèi)恒成立,且在內(nèi)有唯一解,證畢.
法二:
令,則,所以在遞減,遞增
,即,
在遞減,遞增,
在區(qū)間內(nèi)恒成立
當(dāng)時(shí),在區(qū)間內(nèi)恒成立,且在內(nèi)有唯一解,證畢.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4月23日是“世界讀書日”,某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:
小組 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
人數(shù) | 12 | 9 | 6 | 9 |
(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求這2人來自同一個(gè)小組的概率;
(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2017年1月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年減少
C.各年的月接待游客量高峰期大致在6、7月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性較小,變化比較穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近兩年來,以《中國詩詞大會(huì)》為代表的中國文化類電視節(jié)目帶動(dòng)了一股中國文化熱潮.某臺(tái)舉辦闖關(guān)答題比賽,共分兩輪,每輪共有4類題型,選手從前往后逐類回答,若中途回答錯(cuò)誤,立馬淘汰,若全部回答正確,就能獲得一枚復(fù)活幣并進(jìn)行下一輪答題,兩輪都通過就可以獲得最終獎(jiǎng)金.選手在第一輪闖關(guān)獲得的復(fù)活幣,系統(tǒng)會(huì)在下一輪答題中自動(dòng)使用,即下一輪重新進(jìn)行闖關(guān)答題時(shí),在某一類題型中回答錯(cuò)誤,自動(dòng)復(fù)活一次,視為答對(duì)該類題型.若某選手每輪的4類題型的通過率均分別為、、、,則該選手進(jìn)入第二輪答題的概率為_________;該選手最終獲得獎(jiǎng)金的概率為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,過點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。
(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:
(2)若成等比數(shù)列,求a的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(患者考核:分制),用相關(guān)的特征量表示;醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)(試卷考試:分制),用相關(guān)的特征量表示,數(shù)據(jù)如下表:
(1)求關(guān)于的線性回歸方程(計(jì)算結(jié)果精確到);
(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對(duì)關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響,并估計(jì)當(dāng)某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識(shí)考核分?jǐn)?shù)為分時(shí),他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(精確到).
參考公式及數(shù)據(jù):回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的有_________(填序號(hào))
①已知:或,:,則是的必要不充分條件;
②“”是“函數(shù)的最小正周期為”的充分不必要條件;
③中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,,,則“”是“為等腰三角形”的必要不充分條件;
④若命題:“函數(shù)的值域?yàn)?/span>”為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.
(1)求橢圓的方程;
(2)若圓上存在兩點(diǎn),,橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足:三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在四棱錐中,側(cè)棱平面,底面是直角梯形,,,,,為側(cè)棱中點(diǎn).
(1)設(shè)為棱上的動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面平面,并寫出證明過程;
(2)求二面角的余弦值.
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