【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E,F(xiàn),求∠EDF的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)∵橢圓C的離心率為 ,
∴ = ,a2=2b2 ,
∵橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2 ,
∴橢圓C過點(diǎn)( ,1),
∴ + =1,
∴b2=2,a2=4,
∴橢圓C的方程為 + =1.
(Ⅱ)設(shè)A,B的橫坐標(biāo)為x1 , x2 ,
則A(x1 , kx1+m),B(x2 , kx2+m),D( , +m),
聯(lián)立 可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣ ,
∴D(﹣ , ),
∵M(jìn)(0,m),則N(0,﹣m),
∴⊙N的半徑為|m|,
|DN|= = ,
設(shè)∠EDF=α,
∴sin = = = = ,
令y= ,則y′= ,
當(dāng)k=0時(shí),sin 取得最小值,最小值為 .
∴∠EDF的最小值是60°.
【解析】(Ⅰ)首先根據(jù)題中信息可得橢圓C過點(diǎn)( ,1),然后結(jié)合離心率可得橢圓方程;(Ⅱ)可將題目所求角度的最小值轉(zhuǎn)化為求角度正弦的最小值,結(jié)合題目信息可求得D、N坐標(biāo)及⊙N半徑,進(jìn)而將DN長度表示出來,可求∠EDF最小值.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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【題目】點(diǎn)A(0,2)是圓x2+y2=16內(nèi)的定點(diǎn),B,C是這個(gè)圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若BA⊥CA,求BC中點(diǎn)M的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么曲線.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|+|3x﹣ |.
(1)求不等式f(x)<1的解集;
(2)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>0,b>0,c>0且a+b+c= .求證: + + ≥ .
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【題目】如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BC∥ DE,∠ DCB=45°,O是BC中點(diǎn),AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=.
(1)證明:AO⊥平面BCD;
(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
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【題目】某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1 , A2 , A3和3個(gè)歐洲國家B1 , B2 , B3中選擇2個(gè)國家去旅游.
(Ⅰ)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè),求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率;
(Ⅱ)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率.
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【題目】在正方體ABCD—A1B1C1D1中,若E為A1C1中點(diǎn),則直線CE垂直于( )
A. AC B. BD C. A1D D. A1A
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側(cè)棱長為4,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),EF∩BD=G.求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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【題目】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D中,S是B1D1的中點(diǎn),E、F、G分別是BC、CD和SC的中點(diǎn).求證:
(1)直線EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足:,,
(1)、求數(shù)列的前項(xiàng)和為;
(2)、若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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