Question

已知圓C過點(diǎn)p（0，2，）O（0，0），Q（4，0）三點(diǎn)：
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A（2，2）的直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4，求直線l方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，△POQ是直角三角形，所以過這三點(diǎn)的圓C是以PQ為直徑的圓．從而可求出圓心和半徑，進(jìn)而求出圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k，分k不存在和存在兩種情況討論．當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為x=2，此時(shí)|MN|=2

5

，不滿足條件．當(dāng)k存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)直線的距離公式即可得到k=0．從而求出直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，△POQ顯然是直角三角形，
∴過這三點(diǎn)的圓C是以PQ為直徑的圓．
∴圓心C（2，1），半徑為

5

．
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k，
（1）當(dāng)k不存在時(shí)，直線l的方程為x=2．
則M（2，1+

5

），N（2，1-

5

）．
|MN|=2

5

，不滿足條件．
（2）當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線l為y-2=k（x-2）．
即kx-y-2k+2=0．
圓心C到直線l的距離d=

|2k-1-2k+2|

k2+1

=

5-22

=1．
解得k=0．
∴直線l的方程為y=2．
綜上所述，直線l的方程為y=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓相交的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．