【題目】已知橢圓的離心率為,直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線()交橢圓于兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)).過原點(diǎn)的一條直線與直線交于點(diǎn),與直線分別交于點(diǎn).
(。┊(dāng)時(shí),求的最大值;
(ⅱ)若,求證:點(diǎn)在一條定直線上.
【答案】(1);(2)(。;(ⅱ)證明見解析.
【解析】
(1)將點(diǎn)代入直線方程可求得,結(jié)合離心率和橢圓關(guān)系可求得,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)設(shè),
(i)將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式,利用弦長公式表示出,由二次函數(shù)最大值可求得的最大值;
(ii)設(shè)直線,直線,兩式聯(lián)立可求得,同理可得,根據(jù)得到,整理得,將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式,代入上式得,從而得到,將直線與直線聯(lián)立可求得,進(jìn)而得到結(jié)果.
(1)設(shè)
點(diǎn)在直線上 ,解得:
離心率 ,
橢圓的方程為
(2)設(shè),
(i) 由消去可得:
即,由得:
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取到最大值
(ii)若,則為的中點(diǎn)
設(shè)直線,直線
兩個(gè)方程聯(lián)立可得:,解得:
同理可得:
即
化簡得:…①
由得:,即
由得:
,
代入①得:
,即
若,則直線過點(diǎn),與已知不符合
又
又由,聯(lián)立消去得:
點(diǎn)在定直線上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同,圓的直角坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),射線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知射線與圓的交點(diǎn)為,與直線的交點(diǎn)為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,,和都是邊長為2的等邊三角形,設(shè)在底面的射影為.
(1)求證:是中點(diǎn);
(2)證明:;
(3)求點(diǎn)到面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知國家某級大型景區(qū)對擁擠等級與每日游客數(shù)量(單位:百人)的關(guān)系有如下規(guī)定:當(dāng)時(shí),擁擠等級為“優(yōu)”;當(dāng)時(shí),擁擠等級為“良”;當(dāng)時(shí),擁擠等級為“擁擠”;當(dāng)時(shí),擁擠等級為“嚴(yán)重?fù)頂D”.該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
(1)下面是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到的頻率分布表,求出的值,并估計(jì)該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
游客數(shù)量(單位:百人) | ||||
天數(shù) | 10 | 4 | 1 | |
頻率 |
(2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩,求他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的頻率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,是實(shí)數(shù).
(Ⅰ)若在處取得極值,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間為增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同,圓的直角坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),射線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求圓和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知射線與圓的交點(diǎn)為,與直線的交點(diǎn)為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,數(shù)列中,,滿足.
(1) 求出,的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求使得時(shí),對所有的恒成立的最大正整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知多面體的底面是邊長為2的正方形,底面,,且.
(1)求多面體的體積;
(2)記線段的中點(diǎn)為,在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線與平面平行,要求保留作圖痕跡,但不要求證明.
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