已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過點的直線與橢圓相交于兩點,設為橢圓上一點,且滿足(其中為坐標原點),求整數(shù)的最大值.

(Ⅰ). (Ⅱ)的最大整數(shù)值為1.

解析試題分析:(Ⅰ)由題知, 所以.即
又因為,所以,
故橢圓的方程為.                    5分
(Ⅱ)由題意知直線的斜率存在.
,,,
.
,.
,                    8分
,∴,
.
∵點在橢圓上,∴,
                          12分
,
的最大整數(shù)值為1.                           14分
考點:本題主要考查橢圓標準方程,直線與橢圓的位置關系,存在性問題研究。
點評:難題,曲線關系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時,主要運用了橢圓的幾何性質。對于存在性問題,往往先假設存在,利用已知條件加以探究,以明確計算的合理性。本題(III)通過假設t,利用韋達定理進一步確定t與k的關系式,通過確定函數(shù)的值域,得到t的范圍。

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為2,坐標原點到直線AB的距離為,其中A(0,-b),B(a,0).
(1)求雙曲線的標準方程;
(2)設F是雙曲線的右焦點,直線l過點F且與雙曲線的右支交于不同的兩點P、Q,點M為線段PQ的中點.若點M在直線x=-2上的射影為N,滿足·=0,且||=10,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

若橢圓的中心在原點,焦點在軸上,短軸的一個端點與左右焦點、組成一個正三角形,焦點到橢圓上的點的最短距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線與橢圓交于、兩點,線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

,分別是橢圓E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦點,過的直線與E相交于A、B兩點,且,成等差數(shù)列。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若直線的斜率為1,求b的值。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知
(Ⅰ)判斷曲線的切線能否與曲線相切?并說明理由;
(Ⅱ)若的最大值;
(Ⅲ)若,求證:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓過點,且它的離心率.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)與圓相切的直線交橢圓于兩點,若橢圓上一點滿足,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,設拋物線方程為,為直線上任意一點,過引拋物線的切線,切點分別為

(1)求證:三點的橫坐標成等差數(shù)列;
(2)已知當點的坐標為時,.求此時拋物線的方程。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2,點,點F2在線段PF1的中垂線上。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線與橢圓C交于M、N兩點,直線F2M與F2N的傾斜角互補,求證:直線過定點,并求該定點的坐標。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分12分)
已知直線與曲線交于不同的兩點為坐標原點.
(1)若,求證:曲線是一個圓;
(2)若,當時,求曲線的離心率的取值范圍.

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