(本小題滿分12分)
已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ),求證:直線過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。
(1)(2)由
則且由已知直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ),
整理得直線MN過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)
解析試題分析:(1)由橢圓C的離心率
得,其中,
橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為
又點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上
解得
(2)由題意,知直線MN存在斜率,其方程為
由
消去
設(shè)
則
且
由已知直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ),
得
化簡,得
整理得
直線MN的方程為,
因此直線MN過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)
考點(diǎn):橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓相交問題
點(diǎn)評:直線與橢圓相交問題常用的思路:直線方程與橢圓方程聯(lián)立,整理為x的二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,將所求問題轉(zhuǎn)化到兩根來表示
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(+1),一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)設(shè)圓C:,此圓與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn),若在軸上方的兩交點(diǎn)分別為,,坐標(biāo)原點(diǎn)為,的面積為。
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式及的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接BC、AC。
(1)求AB和OC的長;
(2)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合)。過點(diǎn)E作直線l平行BC,交AC于點(diǎn)D。設(shè)AE的長為m,△ADE的面積為s,求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,連接CE,求△CDE面積的最大值;此時(shí),求出以點(diǎn)E為圓心,與BC相切的圓的面積(結(jié)果保留)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且最小值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若動(dòng)直線均與橢圓相切,且,試探究在軸上是否存在定點(diǎn),點(diǎn)到的距離之積恒為1?若存在,請求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,若直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且。(14分)
(1)求橢圓的方程;
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知拋物線:和點(diǎn),若拋物線上存在不同兩點(diǎn)、滿足.
(I)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(II)當(dāng)時(shí),拋物線上是否存在異于的點(diǎn),使得經(jīng)過三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知橢圓的兩焦點(diǎn)是,離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若在橢圓上,且,求DPF1F2的面積.
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