Question

設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區(qū)域為D_n，記D_n內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為f（n）（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）設S_n為數列{b_n}的前n項的和，其中b_n=2^f（n），問是否存在正整數n，t，使

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立？若存在，求出正整數n，t；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據定義分別求f（1），f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）求出S_n，解不等式即可得到結論．

解答： 解：（1）f（1）=3，f（2）=6，
當x=1時，y取值為1，2，3，…，2n，共有2n個格點，
當x=2時，y取值為1，2，3，…，n，共有n個格點，
∴f（n）=n+2n=3n．
（2）b_n=2^f（n）=2³ⁿ=8ⁿ，為等比數列，
則S_n=

8(1-8n)

1-8

=

8

7

(8n-1)，
將S_n代入

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，
化簡得

( 8 7 -t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n- 1 7

＜

1

2

，
當t=1，

8n 7 - 8 7

8n 7 - 1 7

＜

1

2

，①，即

8n

7

＜

15

7

，此時n=1，
當t＞1，有（

8

7

-t）8ⁿ-

1

7

＜0，則①式可化為（

8

7

-t）8ⁿ＞

15

7

，不可能成立．
綜上存在正整數n=1，t=1使

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及等比數列的通項公式和前n項和的計算，考查學生的計算能力．