Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x有兩相等的實(shí)數(shù)根1．
（1）若f（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-2，2]的最小值（用a表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由韋達(dá)定理得出方程組，解出a，b，c的值即可；（2）先找出函數(shù)的對稱軸通過討論a的取值范圍綜合得出結(jié)論．

解答： 解：（1）若方程f（x）=x有兩相等的實(shí)數(shù)根1，
∴ax²+（b-1）x+c=0，
于是可得

1+1= 1-b a 1×1= c a

，
故

b=1-2a c=a

，
又f（0）=2，
故c=2，
∴a=2，b=-3
∴f（x）=2x²-3x+2．
（2）∵f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∴對稱軸x=1-

1

2a

，
當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)的圖象開口向下，
f（-2）=9a-2，f（2）=a+2，
f（-2）-f（2）=8a-4＜0，
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2；
當(dāng)a＞0時，1-

1

2a

＜2，
又∵二次函數(shù)的圖象開口向上，
故當(dāng)1-

1

2a

＜-2時，
即0＜a＜

1

6

時，f（x）在[-2，2]遞增；
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2，
當(dāng)-2＜1-

1

2a

＜2，f（x）_min=f（1-

1

2a

）=1-

1

4a

，
綜上所述∴f(x)min=

9a-2，a＜ 1 6 且a≠0 1- 1 4a ，a≥ 1 6

．

點(diǎn)評：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)問題，求函數(shù)的解析式問題，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．