【題目】已知橢圓的長軸長為4，離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接，當(dāng)直線的傾斜角發(fā)生變化時，直線與軸是否相交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，說明理由.

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意得， ，解得，（2）先根據(jù)直線的斜率不存在時，確定直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，再設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求直線的方程，并求時， .聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡，為定值0.

試題解析：(1)由， ，得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，即軸，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，

猜想：當(dāng)直線的斜率存在時，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也是，

下面證明：

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，設(shè)， ， ，

聯(lián)立： ，

得， ，

直線的方程為，

當(dāng)時， ，

將， 代入得：

，

將， 代入上式得，

由此知直線經(jīng)過點(diǎn)，

所以，當(dāng)直線的傾斜角發(fā)生變化時，直線與軸相交于定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直角梯形中， ， ， ， ， 底面， 底面且有.

（1）求證： ；

（2）若線段的中點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】某家電公司根據(jù)銷售區(qū)域?qū)N售員分成，兩組.年年初，公司根據(jù)銷售員的銷售業(yè)績分發(fā)年終獎，銷售員的銷售額（單位：十萬元）在區(qū)間，，，內(nèi)對應(yīng)的年終獎分別為2萬元，2.5萬元，3萬元，3.5萬元.已知銷售員的年銷售額都在區(qū)間內(nèi)，將這些數(shù)據(jù)分成4組：，，，，得到如下兩個頻率分布直方圖：

以上面數(shù)據(jù)的頻率作為概率，分別從組與組的銷售員中隨機(jī)選取1位，記，分別表示組與組被選取的銷售員獲得的年終獎.

（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）試問組與組哪個組銷售員獲得的年終獎的平均值更高？為什么？

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【題目】如圖，已知橢圓： ， 其左右焦點(diǎn)為及，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，且、、構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓的方程；

（2）記的面積為， （為原點(diǎn)）的面積為，試問：是否存在直線，使得？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求在區(qū)間上的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四面體ABCD中，O是BD中點(diǎn)，AB=AD=2，.

（1）求證：AO⊥平面BCD；

（2）求點(diǎn)D到平面ABC的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知對任意的實數(shù)，都有：，且當(dāng)時，有．

（1）求；

（2）求證：在上為增函數(shù)；

（3）若，且關(guān)于的不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中,設(shè)．

(1)判斷的奇偶性，并說明理由；

(2)若，求使成立的x的集合

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（Ⅰ）若，求的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍.

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