某運輸裝置如圖所示，其中鋼結(jié)構(gòu)ABD是AB=BD=l，∠B=
π
3
的固定裝置，AB上可滑動的點C使CD垂直與底面（C不A，B與重合），且CD可伸縮（當CD伸縮時，裝置ABD隨之繞D在同一平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)），利用該運輸裝置可以將貨物從地面D處沿D→C→A運送至A處，貨物從D處至C處運行速度為v，從C處至A處運行速度為3v．為了使運送貨物的時間t最短，需在運送前調(diào)整運輸裝置中∠DCB=θ的大小．
（1）當θ變化時，試將貨物運行的時間t表示成θ的函數(shù)（用含有v和l的式子）；
（2）當t最小時，C點應設計在AB的什么位置？
考點：已知三角函數(shù)模型的應用問題,集合的含義,函數(shù)解析式的求解及常用方法,三角函數(shù)的最值
專題：應用題,解三角形
分析：第（1）問，時間t分成兩段，從D到C設為t1，從C到A設為t2，要建立t與θ的函數(shù)關系，需要構(gòu)造三角形，利用正余弦定理解決．第（2）問，根據(jù)第（1）問三角函數(shù)的形式，當θ=
π
2
時，t取最小值．
解答： 解：（1）如圖，連接AD，在△ACD中，AB=BD=l，∠B=
π
3
，
∴AD=l，∠A═
π
3
，
∵貨物從D處至C處運行速度為v，設運行的時間為t1，則CD=vt1，
 貨物從C處至A處運行速度為3v，設運行的時間為t2，則AC=3vt2，
∴在△ACD中，由正弦定理得，
vt1
sinA
=
l
sin(π-θ)
，
3vt2
sin(θ-
π
3
)
=
l
sin(π-θ)
 
∴t1=
3
l
2vsinθ
，t2=
lsin(θ-
π
3
)
3vsinθ

∴t=t1+t2=
3
l
2vsinθ
+
lsin(θ-
π
3
)
3vsinθ

=
3
3
l+2lsin(θ-
π
3
)
6vsinθ
，（
π
3
＜θ＜
2π
3
）；
（2）由（1）知當θ=
π
2
，t最小，即C在AB的中點時，t取最小值．
點評：本題考查了三解函數(shù)及解三角形知識的綜合應用，難度較大，關鍵是通過構(gòu)造三角形利用正余弦定理構(gòu)建三角函數(shù)模型．
練習冊系列答案
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從1～10十個整數(shù)中一次取出4個數(shù)，并由小到大排列，以ξ表示這4個數(shù)中的第二個，求ξ的分布列．

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已知f（x）滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞2x+m在[-1，1]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2
2
．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）在線段PD上是否存在一點Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為
2
6
9
，若存在，指出點Q的位置，若不存在，說明理由．

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為了更好地普及消防知識，增強安全意識，某校舉行了一次消防知識競賽，其中一道題是連線題，要求將4種不同消防工具與它們的4種不同的用途一對一連線，規(guī)定：每連對一條得5分，連錯一條的得負2分，某參賽者隨機用4條線把消防工具一對一全部連接起來
（Ⅰ）求該參賽者恰好能連對一條的概率；
（Ⅱ）若做這道連線題得正分者獲獎，求該參賽者獲獎的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的圖象在點M（1，f（x））處的切線方程是y=
1
2
x+2，
（1）求f（1）+f′（1）的值．
（2）求函數(shù)y=（2x-1）3的導數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x有兩相等的實數(shù)根1．
（1）若f（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-2，2]的最小值（用a表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動．
（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；
（Ⅱ）試判斷是否有97.5%的把握認為“休閑方式與性別有關”？
下面臨界值表僅供參考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2
，其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3a=5b，且sinA是sinB與sinC的等差中項，則角C=
 
．

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