【題目】如圖,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點.

(1)求證:AB1⊥平面A1BD;

(2)求二面角AA1DB的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用數(shù)量積即可證明平面.

(2)利用兩個平面的法向量的夾角余弦值即可得到二面角的余弦值.

(1)證明:如圖,取BC的中點O,連接AO.

因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.

因為在正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1中點O1,以O(shè)為原點,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),C(-1,0,0),

所以=(1,2,-),=(-2,1,0),=(-1,2,).

因為·=-2+2+0=0,·=-1+4-3=0,

所以,即AB1⊥BD,AB1⊥BA1.

又BD與BA1交于點B,所以AB1⊥平面A1BD.

(2)解:連接AD,設(shè)平面A1AD的法向量為

n=(x,y,z).

=(-1,1,-),=(0,2,0).

因為n⊥,n⊥,所以

解得

令z=1,得n=(-,0,1)為平面A1AD的一個法向量.

由(1)知AB1⊥平面A1BD,所以為平面A1BD的法向量.

cos〈n·〉==-,

故二面角AA1DB的余弦值為.

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