給定橢圓．稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說(shuō)明理由．

(1) ； (2) 垂直．

解析試題分析：（1）由“橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為”知：從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對(duì)于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對(duì)于②設(shè)經(jīng)過(guò)準(zhǔn)圓上點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關(guān)于的方程：
由化簡(jiǎn)整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個(gè)根，從而
（1）
橢圓方程為
準(zhǔn)圓方程為
（2）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fb/3/lobga.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)共公點(diǎn)，則其方程為
當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個(gè)公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時(shí)，直線也垂直．
②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
則由消去，得

由化簡(jiǎn)整理得：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/9/1v1ui4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以有
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/60/8/1hlri.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)
所以滿足上述方程
所以，即垂直,
綜合①②知, 垂直．
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求△面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

(2014·武漢模擬)已知點(diǎn)P是圓M：x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N(0,m)是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn),線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí),記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線Г,判斷曲線Г為何種曲線,并求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線交曲線Г于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,且它在x軸上的射影為點(diǎn)C,直線BC交曲線Г于另一點(diǎn)D,記直線AD的斜率為k′,是否存在m,使得對(duì)任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓E：的焦點(diǎn)在x軸上．
(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
(2)設(shè)F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，離心率為的橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離的最大值為3，過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)、和、，且滿足，其中為常數(shù)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)，求直線的方程，并證明點(diǎn)平分線段.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P（2，），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)（點(diǎn)不同于），直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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