【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1 , 且AA1=AB=2.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為 ,求銳二面角A﹣A1C﹣B的大。
【答案】
(1)證明:如右圖,取A1B的中點D,連接AD,
因AA1=AB,則AD⊥A1B
由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,
且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1=A1B,
得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC,
所以AD⊥BC.
因為三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱,
則AA1⊥底面ABC,
所以AA1⊥BC.
又AA1∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1,
又AB側(cè)面A1ABB1,故AB⊥BC
(2)解:連接CD,由(1)可知AD⊥平面A1BC,
則CD是AC在平面A1BC內(nèi)的射影
∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角,則
在等腰直角△A1AB中,AA1=AB=2,且點D是A1B中點
∴ ,且 ,
∴
過點A作AE⊥A1C于點E,連DE
由(1)知AD⊥平面A1BC,則AD⊥A1C,且AE∩AD=A
∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角,
且直角△A1AC中:
又 ,
∴ ,
且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角
∴ ,即二面角A﹣A1C﹣B的大小為 .
【解析】(1)取A1B的中點D,連接AD,由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面A1BC,從而AD⊥BC,由線面垂直得AA1⊥BC.由此能證明AB⊥BC.(2)連接CD,由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角,∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個平面角,由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中A(3,﹣1),AB邊上的中線CM所在直線方程為6x+10y﹣59=0,∠B的平分線方程BT為x﹣4y+10=0.
(1)求頂點B的坐標;
(2)求直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知菱形ABCD的頂點A,C在橢圓x2+3y2=4上,對角線BD所在直線的斜率為1.
(1)當直線BD過點(0,1)時,求直線AC的方程;
(2)當∠ABC=60°時,求菱形ABCD面積的最大值.
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【題目】已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和且S4=S3+3a3 , a2=9.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式
(2)設(shè)bn=(2n﹣1)an , 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】上面圖給出的是計算1+2+4+…+22017的值的一個程序框圖,則其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是( )
A.i=2017?
B.i≥2017?
C.i≥2018?
D.i≤2018?
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【題目】圓M:x2+y2﹣2y=24,直線l:x+y=11,l上一點A的橫坐標為a,過點A作圓M的兩條切線l1 , l2 , 切點為B,C.
(1)當a=0時,求直線l1 , l2的方程;
(2)是否存在點A,使得 =﹣2?若存在,求出點A的坐標,若不存在,請說明理由.
(3)求證當點A在直線l運動時,直線BC過定點P0 .
(附加題)問:第(3)問的逆命題是否成立?
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【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和[1,+∞)上的單調(diào)性(不必證明);
(2)當0<a<b,且f(a)=f(b)時,求 的值;
(3)若存在實數(shù)a,b(1<a<b)使得x∈[a,b]時,f(x)的取值范圍是[ma,mb](m≠0),求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分別為AB,VA的中點.
(1)求證:VB∥平面MOC;
(2)求證:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱錐V﹣ABC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,過焦點垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為 .
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經(jīng)過原點,與橢圓E相交于不同的兩點M,N,判斷并說明在橢圓E上是否存在點P,使得△PMN的面積為 .
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