【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若滿足，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）討論的極值點的個數(shù)；

（Ⅲ）若（）是的一個極值點，且，證明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，無極值點；當或時，有個極值點；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）對求導，由構(gòu)建方程，求得的值；

（Ⅱ）對求導，利用分類討論思想討論在當，，時的單調(diào)性，進而分析極值點的個數(shù)；

（Ⅲ）由，可得，此時由（Ⅱ）可知其兩個極值為-2和時，又（）是的一個極值點，則，即可表示，進而由換元法令，構(gòu)造新的函數(shù)利用導數(shù)證明此時的不等式即可.

（Ⅰ）.

，所以.

（Ⅱ）

當時，令，解得，.

①當時，，

當變化時，，的變化如下表

↗

極大值點

↘

極小值點

↗

所以有2個極值點.

②當時，，此時恒成立且不恒為

在上單調(diào)遞增，無極值點.

③當時，，

當變化時，，的變化如下表

↗

極大值點

↘

極小值點

↗

所以有2個極值點.

綜上所述：當時，無極值點；當或時，有個極值點

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若是的一個極值點，則.

又，即.

.

.

令，則，.

則，令，解得或.

當在區(qū)間上變化時，，的變化如下表

↗

極大值點

↘

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

，即

.

練習冊系列答案
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①由圖1和圖2面積相等得；

②由可得；

③由可得；

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（1）若，且為函數(shù)的一個極值點，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

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