【題目】已知函數(shù)在處取得極值A,函數(shù),其中…是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求m的值,并判斷A是的最大值還是最小值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)證明:對于任意正整數(shù)n,不等式成立.
【答案】(1);是最小值;(2)單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;(3)證明過程見詳解.
【解析】
(1)先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)題意,得到,求出,研究函數(shù)單調(diào)性,即可判斷出結(jié)果;
(2)對函數(shù)求導(dǎo),得到,令,對其求導(dǎo),研究其單調(diào)性,即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)先由(1)得時,恒成立,令,則,進而求和,即可得出結(jié)果.
(1)因為,,所以,
又在處取得極值,
則,即;所以,
由得;由得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因此在處取得最小值,即是最小值;
(2)由(1)得,
所以,
令,則,
因為,所以恒成立,
因此在上單調(diào)遞增;又,
所以,當時,,即;
當時,,即;
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;
(3)由(1)知,,
所以,當時,恒成立;
令,則,
因此
,
即,
因此.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形中,,,,是EA的中點(如圖1),將沿CD折起到圖2中的位置,得到四棱錐是.
(1)求證:平面PDA;
(2)若PD與平面ABCD所成的角為.且為銳角三角形,求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)證明:當時,不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由團中央學(xué)校部、全國學(xué)聯(lián)秘書處、中國青年報社共同舉辦的2018年度全國“最美中學(xué)生”尋訪活動結(jié)果出爐啦,此項活動于2018年6月啟動,面向全國中學(xué)在校學(xué)生,通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國、勤奮學(xué)習、熱心助人、見義勇為等方面表現(xiàn)突出、自覺樹立和踐行社會主義核心價值觀的“最美中學(xué)生”.現(xiàn)隨機抽取了30名學(xué)生的票數(shù),繪成如圖所示的莖葉圖,若規(guī)定票數(shù)在65票以上(包括65票)定義為風華組.票數(shù)在65票以下(不包括65票)的學(xué)生定義為青春組.
(1)如果用分層抽樣的方法從青春組和風華組中抽取5人,再從這5人中隨機抽取2人,那么至少有1人在青春組的概率是多少?
(2)用樣本估計總體,把頻率作為概率,若從該地區(qū)所有的中學(xué)(人數(shù)很多)中隨機選取4人,用表示所選4人中青春組的人數(shù),試寫出的分布列,并求出的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若滿足,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)討論的極值點的個數(shù);
(Ⅲ)若()是的一個極值點,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線上點作三條斜率分別為,,的直線,,,與拋物線分別交于不同于的點.若,,則以下結(jié)論正確的是( )
A.直線過定點B.直線斜率一定
C.直線斜率一定D.直線斜率一定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車品牌為了了解客戶對于其旗下的五種型號汽車的滿意情況,隨機抽取了一些客戶進行回訪,調(diào)查結(jié)果如下表:
汽車型號 | I | II | III | IV | V |
回訪客戶(人數(shù)) | 250 | 100 | 200 | 700 | 350 |
滿意率 | 0.5 | 0.3 | 0.6 | 0.3 | 0.2 |
滿意率是指:某種型號汽車的回訪客戶中,滿意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值.
假設(shè)客戶是否滿意互相獨立,且每種型號汽車客戶對于此型號汽車滿意的概率與表格中該型號汽車的滿意率相等.
(1)從所有的回訪客戶中隨機抽取1人,求這個客戶滿意的概率;
(2)從I型號和V型號汽車的所有客戶中各隨機抽取1人,設(shè)其中滿意的人數(shù)為,求的分布列和期望;
(3)用 “”, “”, “”, “”, “”分別表示I, II, III, IV, V型號汽車讓客戶滿意, “”, “”, “”, “”, “” 分別表示I, II, III, IV, V型號汽車讓客戶不滿意.寫出方差的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,已知平面,是邊長為的正三角形,、分別為、的中點.
(1)若,求直線與所成角的余弦值;
(2)若平面平面,求的長.
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