Question

5．我國古代數學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：
第一步：構造數列1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$①
第二步：將數列①的各項乘以$\frac{n}{2}$，得到一個新數列a₁，a₂，a₃，…，a_n．
則a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=（　　）

• A． $\frac{{n}^{2}}{4}$
• B． $\frac{（n-1）^{2}}{4}$
• C． $\frac{n（n-1）}{4}$
• D． $\frac{n（n+1）}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得求得數列{a_n}，則a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=$\frac{n}{2}$•$\frac{n}{4}$+$\frac{n}{4}$•$\frac{n}{6}$+$\frac{n}{6}$•$\frac{n}{8}$+…+$\frac{n}{2（n-1）}$•$\frac{n}{2n}$，提公因數，可知a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=$\frac{{n}^{2}}{4}$（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$），利用裂項法即可求得a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n的值．

解答 解：1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$①，
將數列①的各項乘以$\frac{n}{2}$，得到一個新數列$\frac{n}{2}$，$\frac{n}{4}$，$\frac{n}{6}$，…，$\frac{n}{2n}$，
∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=$\frac{n}{2}$•$\frac{n}{4}$+$\frac{n}{4}$•$\frac{n}{6}$+$\frac{n}{6}$•$\frac{n}{8}$+…+$\frac{n}{2（n-1）}$•$\frac{n}{2n}$，
=$\frac{{n}^{2}}{4}$（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$），
=$\frac{{n}^{2}}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
=$\frac{{n}^{2}}{4}$×$\frac{n-1}{n}$，
=$\frac{n（n-1）}{4}$，
故選C．

點評 本題考查數列的求和，考查“裂項法”求數列前n項和的應用，考查計算能力，屬于中檔題．