Question

13．已知集合A={y|y=$\sqrt{a{x}^{2}+2（a-1）x-4}$}=[0，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，值域y∈[0，+∞），對a進行討論，只需函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x-4的值域能[0，+∞）即可滿足題意，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：集合A={y|y=$\sqrt{a{x}^{2}+2（a-1）x-4}$}=[0，+∞），值域y∈[0，+∞），
只需函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x-4的值域能取[0，+∞）即滿足題意：
對a進行討論：
當a=0時，f（x）=-2x-4，其值域為R，滿足題意；
當a≠0時，要使值域能取[0，+∞），則需滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（a{x}^{2}+2（a-1）x-4）_{min}≤0}\end{array}\right.$，
解得：a＞0．
綜上所得：實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．

點評 本題考查了復合函數(shù)值域的恒成立問題，理解題意是關鍵，屬于中檔題．