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（本題滿分14分）如圖，已知平面平面，與分別是棱長為1與2的正三角形，//，四邊形為直角梯形，//，，點為的重心，為中點，，

（Ⅰ）當時，求證：//平面
（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.
（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.
（1）只須證：連接AG并延長交CE于P點，連接PB，PD，易證NPDF為平行四邊形，然后根據平行線分分段成比例關系證DM//PF即可.
(2) 由于本小題建系比較容易，所以易采用空間向量法求二面角即可.先求出二面角兩個面的法向量，然后根據法向量的夾角與二面角相等或互補進行計算.
（Ⅰ）連延長交于，

因為點為的重心，所以
又，所以，所以//；
因為//，//，所以平面//平面，
又與分別是棱長為1與2的正三角形，
為中點，為中點, //,又//，
所以//，得四點共面
//平面
（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，
以為原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，
則，設，
，
，
因為與所成角為，所以，
得，，，
設平面的法向量，則，取，
面的法向量，
所以二面角的余弦值.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題8分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，
PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點．

（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分16分）
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1，A1A的中點．

（1）求的長；
（2）求的值；
（3）求證：A1B⊥C1M（14分）．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，
 
G為PD中點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC.
（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求點G到平面PEC的距離.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體中，分別是的中點，分
的中點，

（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱錐的體積。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖所示， 四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA^CD，PA = 1， PD＝，E為PD上一點，PE = 2ED．

（Ⅰ）求證：PA^平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在側棱PC上是否存在一點F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在直三棱柱中，是中點.

（1）求證：//平面；
（2）求點到平面的距離；
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD于A,M,N分別為AB,PC的中點
（1）求證：MN⊥AB；
（2）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角為θ,能否確定θ,使直線MN是異面直線AB與PC的公垂線？若能確定,求出的值;若不能確定,說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

是的直徑，點是上的動點（點不與重合），過動點的直線垂直于所在的平面，分別是的中點，則下列結論錯誤的是  
A．直線平面B．直線平面
C．D．

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