如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PA=AB=4,
 
G為PD中點,E點在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(Ⅰ)求證:AG⊥平面PCD;
(Ⅱ)求證:AG∥平面PEC;
(Ⅲ)求點G到平面PEC的距離.
(Ⅰ)證明:見解析;(Ⅱ)證明:見解析;(Ⅲ)G點到平面PEC的距離為
本試題主要考查了線面的位置關(guān)系的運用,點到面的距離的求解。
線面平行的判定和線面垂直的判定的綜合運用。
(1)由于CD⊥AD,CD⊥PA    ∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG又PD⊥AG,從而由判定定理得到結(jié)論。
(2)作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD,又由(Ⅰ)知AG⊥平面PCD,故EF∥AG可知線面平行。
(3)由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等
由(Ⅱ)知A、E、F、G四點共面,又AECD 
AE∥平面PCD
∴ AE∥GF,∴ 四邊形AEFG為平行四邊形,∴ AE=GF,然后利用轉(zhuǎn)換頂點得到體積的求解。
解(Ⅰ)


證明:∵CD⊥AD,CD⊥PA    
∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG
又PD⊥AG     
∴AG⊥平面PCD          …………4分
(Ⅱ)證明:作EF⊥PC于F,因面PEC⊥面PCD 
∴EF⊥平面PCD,又由(Ⅰ)知AG⊥平面PCD 
∴EF∥AG,又AG 面PEC,EF 面PEC,
∴AG∥平面PEC    ………………7分
(Ⅲ)由AG∥平面PEC知A、G兩點到平面PEC的距離相等
由(Ⅱ)知A、E、F、G四點共面,又AECD 
AE∥平面PCD
AEGF,∴ 四邊形AEFG為平行四邊形,∴ AEGF     ……………8分



 
PAAB=4, GPD中點,FG   CD

FG=2       ∴ AEFG=2                   ………………………9分
∴                ………………………10分
又EF⊥PC,EF=AG
        ………………………11分
,∴,即,∴
∴ G點到平面PEC的距離為.              ………………………12分網(wǎng)
練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分12分)
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如圖在四棱錐中,底面是菱形,,底面,的中點,中點。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐中,平面,底面是直角梯形,,,中點.

(1) 求證:平面PDC平面PAD;
(2) 求證:BE∥平面PAD;
(3)求二面角的余弦值.

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;③;④
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