【題目】【2018湖南(長郡中學(xué)、株洲市第二中學(xué))、江西(九江一中)等十四校高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)(其中且為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)若函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若(其中)恒成立,求的最小值的最大值.
【答案】(Ⅰ) 或;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,其導(dǎo)數(shù)為.由或,設(shè),則,分類討論可得當(dāng)或時(shí), 只有一個(gè)極值點(diǎn).很明顯當(dāng)時(shí), 只有一個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí), 有、、三個(gè)極值點(diǎn).則當(dāng)或時(shí),函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅱ)依題意得,令,則,分類討論:當(dāng)時(shí), ,與恒成立矛盾;當(dāng)時(shí),只需成立,則,問題轉(zhuǎn)化為求解的最小值,計(jì)算可得,即的最小值的最大值為.
試題解析:
(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,其導(dǎo)數(shù)為
.
由或,
設(shè),∵,∴當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
即在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,∴,
又當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), 且恒成立.
所以,當(dāng)或時(shí),方程無根,函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí),方程的根也為,此時(shí)的因式恒成立,
故函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)根、且, ,∴函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減; 單調(diào)遞增; 單調(diào)遞減; 單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)有、、三個(gè)極值點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)或時(shí),函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).
(Ⅱ)依題意得,令,則對,都有成立.
因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
注意到,∴若,有成立,這與恒成立矛盾;
當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>在上為減函數(shù),且,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,
若對,都有成立,則只需成立,
,
當(dāng)時(shí),則的最小值,∵,∴函數(shù)在上遞增,在上遞減,∴,即的最小值的最大值為;
綜上所述, 的最小值的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與軸,軸分別交于點(diǎn),,且,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),的延長線交橢圓于點(diǎn),過點(diǎn),分別作軸的垂線,垂足分別為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線,使得點(diǎn)平分線段?若存在,求出直線的方程,若不存在請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半,則一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球運(yùn)動(dòng)員每次在罰球線投籃投進(jìn)的概率是0.8,且各次投籃的結(jié)果互不影響.
(1)假設(shè)這名運(yùn)動(dòng)員投籃3次,求恰有2次投進(jìn)的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);
(2)假設(shè)這名運(yùn)動(dòng)員投籃3次,每次投進(jìn)得1分,未投進(jìn)得0分;在3次投籃中,若有2次連續(xù)投進(jìn),而另外一次未投進(jìn),則額外加1分;若3次全投進(jìn),則額外加3分,記為該籃球運(yùn)動(dòng)員投籃3次后的總分?jǐn)?shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】的展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,且前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求的值;
(2)若,展開式有多少有理項(xiàng)?寫出所有有理項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓與圓外切于原點(diǎn),且兩圓圓心的距離,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓和圓的極坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)的直線、與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn),與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn),且.求四邊形面積的最大值.
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