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已知三棱錐P-ABC的所有棱長都相等，現沿PA，PB，PC三條側棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2
6
，則三棱錐P-ABC的內切球的表面積為
 
．
考點：球的體積和表面積
專題：計算題,空間位置關系與距離,球
分析：根據平面圖形外接圓的半徑求出三棱錐的棱長，再根據棱長求出高，設內切球的球心為O'，半徑為r，連接三棱錐的四個頂點得到四個小三棱錐的體積相等，然后根據等積法計算得到半徑r，再由球的表面積公式計算即可得到．
解答： 解：根據題意幾何體為正三棱錐，如圖，設棱長為a，
PD=
3
2
a，OD=
3
6
a，OP=
PD2-OD2
=
6
3
a．
則OD+PD=
3
6
a+
3
2
a=
2
3
3
a=2
6
⇒a=3
2
，
V棱錐=
1
3
×
3
4
a2×
6
3
a=9，
設內切球的球心為O'，半徑為r，
連接三棱錐的四個頂點得到四個小三棱錐的體積相等，
即為4×
1
3
×
3
4
a2r=
3
3
×18r=6
3
r．
由等積法，可得，9=6
3
r，
解得，r=
3
2
．
則內切球的表面積為S=4πr2=3π．
故答案為：3π．
點評：本題主要考查球的表面積的求法，考查等積法的運用，考查三棱錐的體積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，直線l過點P（1，2），O為坐標原點．
（1）若直線l在x軸和y軸上的截距相等，求l的方程；
（2）若直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當△AOB面積最小時，求l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若不等式x2-kx+k＞0對任意的x∈R恒成立，則實數k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2sinxcosx+cos(2x-
π
6
)+cos(2x+
π
6
)，x∈R．
（Ⅰ）求f(
π
12
)的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[
π
2
，π]上的最大值和最小值，及相應的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2-4x-2y-15=0上有四個不同的點到直線L：y=k（x-7）+6的距離等于
5
，則k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
m
=1（m＞0）的離心率是2，則m=
 
，以該雙曲線的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓的方程是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線方程為x2-
y2
4
=1，過P（1，2）的直線L與雙曲線只有一個公共點，則L的條數共有（　�。�
A、4條B、3條C、2條D、1條

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足a1=1，an=λan-1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求證：當λ≠0時，數列{an+
1
λ-1
}為等比數列；
（Ⅱ）如果λ=2，求數列{nan}的前n項和Sn；
（Ⅲ）如果[an]表示不超過an的最大整數，當λ=
2
+1時，求數列{[（λ-1）an]}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線l的參數方程為
x=-2+
2
t
y=-4+
2
t.
（t為參數）．直線l與曲線C分別交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比數列，求實數a的值．

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