Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x|+|x﹣1|．

（1）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求實數(shù)m的最大值M；

（2）在（1）成立的條件下，正實數(shù)a，b滿足a2+b2＝M，證明：a+b≥2ab．

Answer 1

【答案】（1）2（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的最小值，通過|m﹣1|≤1，求解m的范圍，得到m的最大值M．

（2）法一：綜合法，利用基本不等式證明即可；法二：利用分析法，證明不等式成立的充分條件即可．

（1）由已知可得，

所以fmin（x）＝1，

所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，

∴0≤m≤2，

所以實數(shù)m的最大值M＝2.

（2）法一：綜合法

∵正實數(shù)a，b滿足a2+b2＝2，

∴ab≤1

∴，當且僅當a＝b時取等號，①

又∴

∴，當且僅當a＝b時取等號，②

由①②得，

∴，

所以a+b≥2ab

法二：分析法因為a＞0，b＞0，

所以要證a+b≥2ab，只需證，

即證a2+b2+2ab≥4a2b2，

所以只要證2+2ab≥4a2b2，

即證2(ab)2-ab-1≤0，

即證,

因為2ab+1＞0，

所以只需證ab≤1，

下證ab≤1，

因為2＝a2+b2≥2ab，

所以ab≤1成立，

所以a+b≥2ab成立.