Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （2x﹣2﹣x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調性，并說明理由；
（2）當x∈（﹣1，1）時，總有f（m﹣1）+f（m）＜0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣x）= （2﹣x﹣2x）=﹣ （2x﹣2﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）為奇函數(shù)．

設x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= （ ﹣ ﹣ + ）= （ ﹣ ）（1+ ），

∵y=2x是增函數(shù)，∴ ﹣ ＜0，又1+ ＞0，

∴當0＜a＜1時，f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函數(shù)f（x）是減函數(shù)

當a＞1時，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函數(shù)f（x）是增函數(shù)

（2）解：由f（m﹣1）+f（m）＜0得f（m）＜﹣f（m﹣1）

由（1）知f（x）為奇函數(shù)，∴f（m）＜f（1﹣m） …（8分）

又由（1）得

當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）是減函數(shù)

∴ 解得 ＜m＜1

當a＞1時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)

∴ ，解得0＜m＜

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的定義進行證明即可．（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化求解即可．
【考點精析】掌握奇偶性與單調性的綜合是解答本題的根本，需要知道奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性．