【題目】設(shè)F1 , F2分別是C: + =1(a>b>0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為 ,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
【答案】
(1)解:∵M是C上一點且MF2與x軸垂直,
∴M的橫坐標為c,當(dāng)x=c時,y= ,即M(c, ),
若直線MN的斜率為 ,
即tan∠MF1F2= ,
即b2= =a2﹣c2,
即c2+ ﹣a2=0,
則 ,
即2e2+3e﹣2=0
解得e= 或e=﹣2(舍去),
即e= .
(2)解:由題意,原點O是F1F2的中點,則直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,
設(shè)M(c,y),(y>0),
則 ,即 ,解得y= ,
∵OD是△MF1F2的中位線,
∴ =4,即b2=4a,
由|MN|=5|F1N|,
則|MF1|=4|F1N|,
解得|DF1|=2|F1N|,
即
設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,
則(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).
即 ,即
代入橢圓方程得 ,
將b2=4a代入得 ,
解得a=7,b= .
【解析】(1)根據(jù)條件求出M的坐標,利用直線MN的斜率為 ,建立關(guān)于a,c的方程即可求C的離心率;(2)根據(jù)直線MN在y軸上的截距為2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程組關(guān)系,求出N的坐標,代入橢圓方程即可得到結(jié)論.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2bx,g(x)=|x﹣1|,若對任意x1 , x2∈[0,2],當(dāng)x1<x2時都有f(x1)﹣f(x2)<g(x1)﹣g(x2),則實數(shù)b的最小值為 .
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【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本C(x),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時,C(x)= x2+10x(萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時C(x)=51x+ ﹣1450(萬元),通過市場分析,若每件售價為500元時,該廠本年內(nèi)生產(chǎn)該商品能全部銷售完.
(1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲的利潤最大?
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【題目】若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但定義域不同,則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=2x2+1,值域為{5,19}的“孿生函數(shù)”共有( )
A.4個
B.6個
C.8個
D.9個
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【題目】設(shè)集合A={x|x2﹣2ax+a=0,x∈R},B={x|x2﹣4x+a+5=0,x∈R},若A和B中有且僅有一個是,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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【題目】設(shè)集合P={m|﹣1<m≤0},Q={m|mx2+4mx﹣4<0對任意x恒成立},則P與Q的關(guān)系是( )
A.PQ
B.QP
C.P=Q
D.P∩Q=
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【題目】已知集合D= ,有下面四個命題:
p1:(x,y)∈D, ≥3 p2:(x,y)∈D, <1
p3:(x,y)∈D, <4 p4:(x,y)∈D, ≥2
其中的真命題是( )
A.p1 , p3
B.p1 , p4
C.p2 , p3
D.p2 , p4
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【題目】在多面體ABCDE中,BC=BA,DE∥BC,AE⊥平面BCDE,BC=2DE,F(xiàn)為AB的中點.
(1)求證:EF∥平面ACD;
(2)若EA=EB=CD,求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小.
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【題目】設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=x|x﹣a|.
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)當(dāng)0≤x≤1時,求f(x)的最大值.
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