Question

【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C（x）= x2+10x（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)C（x）=51x+ ﹣1450（萬(wàn)元），通過(guò)市場(chǎng)分析，若每件售價(jià)為500元時(shí)，該廠本年內(nèi)生產(chǎn)該商品能全部銷售完．
（1）寫出年利潤(rùn)L（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，

∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬(wàn)元，

①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣ ﹣10x﹣250=﹣ +40x﹣250；

②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣（x+ ）．

綜合①②可得，L（x）=

（2）解：①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=﹣ +40x﹣250=﹣ +950，

∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬(wàn)元；

②當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200﹣（x+ ）≤1200﹣2 =1200﹣200=1000，

當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L（100）=1000萬(wàn)元．

綜合①②，由于950＜1000，

∴年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大

【解析】（1）根據(jù)題意對(duì)x進(jìn)行分段，列出相應(yīng)的函數(shù)解析式即可，（2）分別在分段中求出函數(shù)的最大值，分析可得所獲利潤(rùn)最大時(shí)的年產(chǎn)量.