Question

如圖，三棱柱的所有棱長都為，且平面，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求二面角的大小的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（1）欲證AB₁⊥平面A₁BD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB₁與平面A₁BD內(nèi)兩相交直線垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥DO，A₁B∩DO=O，滿足定理所需條件．
（2）
（3）

試題分析：解析： （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．
為正三角形，．
平面，平面
平面平面，平面．  1分
取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014829387462.png" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，，．
，，
，，．
平面． 4分
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．
，．
，，

取為平面的一個法向量．
由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．
，．
二面角的余弦值為．  9分
（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．
點(diǎn)到平面的距離．  13分
點(diǎn)評：主要是考查了運(yùn)用向量法來求解空間中的角和距離的求解，屬于中檔題。