【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD= ,F(xiàn)為PC的中點(diǎn),AF⊥PB.
(1)求PA的長(zhǎng);
(2)求二面角B﹣AF﹣D的正弦值.
【答案】
(1)解:如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O
∵BC=CD,AC平分角BCD,∴AC⊥BD
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸,
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,
則OC=CDcos =1,而AC=4,可得AO=AC﹣OC=3.
又∵OD=CDsin = ,
∴可得A(0,﹣3,0),B( ,0,0),C(0,1,0),D(﹣ ,0,0)
由于PA⊥底面ABCD,可設(shè)P(0,﹣3,z)
∵F為PC邊的中點(diǎn),∴F(0,﹣1, ),由此可得 =(0,2, ),
∵ =( ,3,﹣z),且AF⊥PB,
∴ =6﹣ =0,解之得z=2 (舍負(fù))
因此, =(0,0,﹣2 ),可得PA的長(zhǎng)為2
(2)解:由(I)知 =(﹣ ,3,0), =( ,3,0), =(0,2, ),
設(shè)平面FAD的法向量為 =(x1,y1,z1),平面FAB的法向量為
∵ =0且 =0,∴ ,取y1= 得 =(3, ,﹣2),
同理,由 =0且 =0,解出 =(3,﹣ ,2),
∴向量 、 的夾角余弦值為cos< , >= = =
因此,二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于 =
【解析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)O,等腰三角形BCD中利用“三線(xiàn)合一”證出AC⊥BD,因此分別以O(shè)B、OC分別為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.結(jié)合題意算出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)P(0,﹣3,z),根據(jù)F為PC邊的中點(diǎn)且AF⊥PB,算出z=2 ,從而得到 =(0,0,﹣2 ),可得PA的長(zhǎng)為2 ;(2)由(1)的計(jì)算,得 =(﹣ ,3,0), =( ,3,0), =(0,2, ).利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組,解出 =(3, ,﹣2)和 =(3,﹣ ,2)分別為平面FAD、平面FAB的法向量,利用空間向量的夾角公式算出 、 夾角的余弦,結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:x2+2y2=4,
(1)求橢圓C的離心率
(2)設(shè)O為原點(diǎn),若點(diǎn)A在橢圓C上,點(diǎn)B在直線(xiàn)y=2上,且OA⊥OB,求直線(xiàn)AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)滿(mǎn)足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)圓是以為直徑的圓,一直線(xiàn)與之相切,并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,當(dāng)且滿(mǎn)足時(shí),求的面積的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面上, ⊥ ,| |=| |=1, = + .若| |< ,則| |的取值范圍是( )
A.(0, ]
B.( , ]
C.( , ]
D.( , ]
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列有關(guān)線(xiàn)性回歸分析的四個(gè)命題:
①線(xiàn)性回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)();
②回歸直線(xiàn)就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線(xiàn);
③當(dāng)相關(guān)性系數(shù)時(shí),兩個(gè)變量正相關(guān);
④如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)性系數(shù)就越接近于.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三角形ABC中,角A、B、C所對(duì)邊分別為a,b,c,且.
(1)若cosA=,求sinC的值;
(2)若b=,a=3c,求三角形ABC的面積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在區(qū)間(0,1]上任取兩個(gè)數(shù)a、b,則函數(shù)f(x)=x2+ax+b2無(wú)零點(diǎn)的概率為( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中, , , ,若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上,則該球的體積為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在三棱錐中,因?yàn)?/span>, , ,所以,則該幾何體的外接球即為以為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球,則 ,其體積為 ;故選D.
點(diǎn)睛:在處理幾何體的外接球問(wèn)題,往往將所給幾何體與正方體或長(zhǎng)方體進(jìn)行聯(lián)系,常用補(bǔ)體法補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體進(jìn)行處理,本題中由數(shù)量關(guān)系可證得 從而幾何體的外接球即為以為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球,也是處理本題的技巧所在.
【題型】單選題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù),則的大致圖象為( )
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象如圖所示,
(1)畫(huà)出函數(shù)f(x),x∈R剩余部分的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f(x),x∈R的單調(diào)區(qū)間;(只寫(xiě)答案)
(2)求函數(shù)f(x),x∈R的解析式.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話(huà):027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com