給定橢圓．稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說(shuō)明理由．

(1) ； (2) 垂直．

解析試題分析：（1）由“橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為”知：從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對(duì)于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對(duì)于②設(shè)經(jīng)過(guò)準(zhǔn)圓上點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關(guān)于的方程：
由化簡(jiǎn)整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個(gè)根，從而
（1）
橢圓方程為
準(zhǔn)圓方程為
（2）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c4/2/hfbj33.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)共公點(diǎn)，則其方程為
當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個(gè)公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時(shí)，直線也垂直．
②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
則由消去，得

由化簡(jiǎn)整理得：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/d/qyozz1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以有
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/35/d/l9peu1.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)
所以滿足上述方程
所以，即垂直,
綜合①②知, 垂直．
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1.），離心率e=，直線l的方程為x=4.

（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為.問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).判斷以為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P（2，），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知圓，經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過(guò)圓外一點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知曲線的方程為，過(guò)原點(diǎn)作斜率為的直線和曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過(guò)作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過(guò)作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，如此下去，一般地，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，設(shè)點(diǎn)（）．
（1）指出，并求與的關(guān)系式（）；
（2）求（）的通項(xiàng)公式，并指出點(diǎn)列，， ，，  向哪一點(diǎn)無(wú)限接近？說(shuō)明理由；
（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求所有可能的乘積的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑，、是過(guò)點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)是．
（1）點(diǎn)在已知橢圓上，動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，求的面積的最大值

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