Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn) ，且離心率為.設(shè)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于的一點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求證：直線與的斜率之積為定值；

（Ⅲ）判斷三點(diǎn)是否共線，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）三點(diǎn)共線

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)已知條件列a、b、c的方程組，求a、b、c的值，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程可得x0與y0的等量關(guān)系，然后利用斜率公式，結(jié)合等量關(guān)系可證出結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)直線AP的方程為y＝k（x﹣2）（k≠0），得直線BP方程，與直線x＝2聯(lián)立，分別求點(diǎn)M、N坐標(biāo)，然后求直線MN斜率，寫直線HM的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求點(diǎn)H坐標(biāo)，計(jì)算AH和AN的斜率，利用這兩直線斜率相等來證明結(jié)論成立．

解：（Ⅰ）根據(jù)題意可知解得

所以橢圓的方程.

（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率都存在且不為零.

設(shè)，則 .

則.

因?yàn)?/span>，所以.

所以.

所以直線與的斜率之積為定值.

(III)三點(diǎn)共線.證明如下：

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.

所以，,.

設(shè)直線，

聯(lián)立方程組消去整理得，.

設(shè)，則所以,.

所以.

因?yàn)?/span>，,

,.

所以，所以三點(diǎn)共線.