Question

【題目】已知從A地到B地共有兩條路徑L1和L2 ， 據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，且經(jīng)過L1與L2所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率分布直方圖分別如圖（1）和圖（2）．
現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于從A地到B地．
（1）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？
（2）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對（1）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到B地”，

Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i=1，2．

由頻率分布直方圖及頻率估計(jì)相應(yīng)的概率可得：

P（A1）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6，

P（A2）=（0.01+0.04）×10=0.5．

∵P（A1）＞P（A2），故甲應(yīng)選擇L1．

P（B1）=（0.01+0.02+0.03+0.02）×10=0.8，

P（B2）=（0.01+0.04+0.04）×10=0.9．

∵P（B2）＞P（B1），故乙應(yīng)選擇L2．

（2）解：用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，

由（1）知P（M）=0.6，P（N）=0.9，又由題意知，M，N相互獨(dú)立，

∴P（X=0）=P（ ）=P（ ）P（ ）=0.4×0.1=0.04；

P（X=1）=P（ N+M ）=P（ ）P（N）+P（M）P（ ）

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42；

P（X=2）=P（MN）=P（M）P（N）=0.6×0.9=0.54．

∴X的分布列為

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

∴E（X）=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．

【解析】（1）用Ai表示事件“甲選擇路徑Li時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到B地”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到B地”，i=1，2．由頻率分布直方圖及頻率估計(jì)概率求出P（A1）＞P（A2），從而甲應(yīng)選擇L1，P（B2）＞P（B1），從而乙應(yīng)選擇L2．（2）用M，N分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到B地，P（M）=0.6，P（N）=0.9，M，N相互獨(dú)立，由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．