【題目】設(shè)函數(shù)圖象上不同兩點,處的切線的斜率分別是,,規(guī)定(為線段的長度)叫做曲線在點與點之間的“彎曲度”,給出以下命題:
①函數(shù)圖象上兩點與的橫坐標(biāo)分別為和,則;
②存在這樣的函數(shù),其圖象上任意不同兩點之間的“彎曲度”為常數(shù);
③設(shè),是拋物線上不同的兩點,則 ;
④設(shè), 是曲線(是自然對數(shù)的底數(shù))上不同的兩點,則.
其中真命題的個數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
由新定義,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=sinx、y=x2在點A與點B之間的“彎曲度”判斷①、③正確;舉例說明②是正確的;求出曲線y=ex上不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“彎曲度”,判斷④錯誤.
對于①,由y=sinx,得y′=cosx,
則kA=cos1,kB=cos(﹣1)=cos1,則|kA﹣kB|=0,即φ(A,B)=0,①正確;
對于②,如y=1時,y′=0,則φ(A,B)=0,②正確;
對于③,拋物線y=x2的導(dǎo)數(shù)為y′=2x,yA=xA2,yB=xB2,
∴yA﹣yB=xA2﹣xB2=(xA﹣xB)(xA+xB),
則φ(A,B)2,③正確;
對于④,由y=ex,得y′=ex,φ(A,B),
由不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),可得φ(A,B)1,∴④錯誤;
綜上所述,正確的命題序號是①②③.
故選:C.
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【題目】五一勞動節(jié)放假,某商場進行一次大型抽獎活動.在一個抽獎盒中放有紅、橙、黃、綠、藍、紫的小球各2個,分別對應(yīng)1分、2分、3分、4分、5分、6分.從袋中任取3個小球,按3個小球中最大得分的8倍計分,計分在20分到35分之間即為中獎.每個小球被取出的可能性都相等,用表示取出的3個小球中最大得分,求:
(1)取出的3個小球顏色互不相同的概率;
(2)隨機變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(3)求某人抽獎一次,中獎的概率.
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【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg), 其頻率分布直方圖如下:
(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計A的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50 kg | 箱產(chǎn)量≥50 kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.
附:
P() | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是_________.
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【題目】某化工企業(yè)2018年年底投入100萬元,購入一套污水處理設(shè)備。該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元,此外,每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元。設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備年的年平均污水處理費用為(單位:萬元)
(1)用表示;
(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費用最低時,企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備。則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備。
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠DAB=60°.
(1)證明:AD⊥PB.
(2)若PB=,AB=PA=2,求三棱錐P-BCD的體積。
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【題目】一個大于1的自然數(shù),除了1和它本身外,不能被其他自然數(shù)整除,則稱這個數(shù)為質(zhì)數(shù).質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的.設(shè)由所有質(zhì)數(shù)組成的無窮遞增數(shù)列的前項和為,等差數(shù)列1,3,5,7,…中所有不大于的項的和為.
(Ⅰ)求和;
(Ⅱ)判斷和的大小,不用證明;
(Ⅲ)設(shè),求證:,,使得.
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【題目】已知橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為,為其右焦點,若,設(shè),且,則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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