Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值；

（2）已知關于的不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）

【解析】

（1）求導后，分和兩種情況考慮的單調(diào)性；利用導數(shù)求的極值即可；

（2）對任意的恒成立，等價于對任意的恒成立，設，利用導數(shù)研究的單調(diào)性以及最值，從而可得到結(jié)論.

（1）因為，∴.

當，即時，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當，即時，令，則或，單調(diào)遞增；令，則，單調(diào)遞減.

綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

因為，（）

所以，所以當時，，單調(diào)遞增，

當時，，單調(diào)遞減，所以，無最大值.

（2）對任意的恒成立，

即對任意的恒成立.

令，，則.

當時，因為，所以，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以，符合題意.

當時，令，得，令，得，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以

由（1）知，即在上恒成立，不符合題意.

綜上，實數(shù)的取值范圍為