【題目】如圖,我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島,小島B與小島A、小島C相距都為5n mile,與小島D相距為 n mile.小島A對小島B與D的視角為鈍角,且 .
(Ⅰ)求小島A與小島D之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積;
(Ⅱ)記小島D對小島B與C的視角為α,小島B對小島C與D的視角為β,求sin(2α+β)的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ ,且角A為鈍角,∴ .
在△ABD中,由余弦定理得:AD2+AB2﹣2ADABcosA=BD2 .
∴ AD2+8AD﹣20=0.
解得AD=2或AD=﹣10(舍).
∴小島A與小島D之間的距離為2n mile.
∵A,B,C,D四點共圓,∴角A與角C互補.
∴ , .
在△BDC中,由余弦定理得:CD2+CB2﹣2CDCBcosC=BD2 .
∴ CD2﹣8CD﹣20=0.
解得CD=﹣2(舍)或CD=10
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△BCD
= = =3+15=18.
∴四個小島所形成的四邊形的面積為18平方n mile.
(Ⅱ)在△BDC中,由正弦定理得: .
∵DC2+DB2>BC2 , ∴α為銳角,∴ .
又∵ , .
∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]
=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)
= =
【解析】(Ⅰ)利用余弦定理求出,AD,CD,即可求小島A與小島D之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積;(Ⅱ)求出sin(α+β),cos(α+β),利用和角的三角函數(shù)公式求sin(2α+β)的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2|﹣|x+a|
(1)當(dāng)a=3時,解不等式f(x)≤ ;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤a解集為R,求a的取值范圍.
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【題目】某公司為獲得較好的收益,每年要投入一定資金用于廣告促銷,經(jīng)調(diào)查,每年投入廣告費(百萬元),可增加銷售額約為(百萬元)()
(1)若該公司當(dāng)年的廣告費控制在4百萬元之內(nèi),則應(yīng)該設(shè)入多少廣告費,才能使該公司獲得的收益最大?
(2)現(xiàn)該公司準備共投入6百萬元,分別用于廣告促銷售和技術(shù)改造,經(jīng)預(yù)測,每設(shè)入技術(shù)改造費(百萬元),可增加銷售額約為(百萬元),請設(shè)計一種資金分配方案,使該公司由此獲得最大收益.(注:收益銷售額成本)
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【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)求f(x)+f(1﹣x)的值;
(2)若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1)(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)若數(shù)列{bn}滿足bn=2nan , Sn是數(shù)列{bn}的前n項和,是否存在正實數(shù)k,使不等式knSn>3bn對于一切的n∈N*恒成立?若存在,請求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知點P(2,0)及圓C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)設(shè)過P直線l1與圓C交于M、N兩點,當(dāng)|MN|=4時,求以MN為直徑的圓Q的方程;
(2)設(shè)直線ax﹣y+1=0與圓C交于A,B兩點,是否存在實數(shù)a,使得過點P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB?若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】偶函數(shù)f(x)滿足f(x﹣1)=f(x+1),且在x∈[0,1]時,f(x)=x2 , g(x)=ln|x|,則函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)的零點的個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a2=﹣5,S5=﹣20.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求使不等式Sn>an成立的n的最小值.
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的圖象與y軸的交點為(0, ),它的一個對稱中心是M( ,0),點M與最近的一條對稱軸的距離是 .
(1)求此函數(shù)的解析式;
(2)求此函數(shù)取得最大值時x的取值集合;
(3)當(dāng)x∈(0,π)時,求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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