【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)求f(x)+f(1﹣x)的值;
(2)若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1)(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列{bn}滿足bn=2nan , Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,是否存在正實(shí)數(shù)k,使不等式knSn>3bn對(duì)于一切的n∈N*恒成立?若存在,請(qǐng)求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:∵f(x)= ,
∴ =
(2)解 ①
∴ ②
由(1),知f(x)+f(1﹣x)=1,
∴①+②,得2an=(n+1),
∴
(3)解:因?yàn)? ,
∴ ①
2Sn=221+322+423+…+n2n﹣1+(n+1)2n,②
①﹣②得,
即 ,
要使得不等式knSn>3bn恒成立,
即2kn2>3(n+1)對(duì)于一切的n∈N*恒成立,
即 對(duì)一切的n∈N*恒成立,
令 ,
因?yàn)? 在n∈N*是單調(diào)遞增的,
∴ 的最小值為2+ = ,
∴ ,
∴k>3
【解析】(1)由函數(shù)f(x)= ,代入化簡(jiǎn),可得f(x)+f(1﹣x)=1,(2)根據(jù)(1)中結(jié)論,利用倒序相加法,可得 ;(3)根據(jù)(2)中結(jié)論,利用錯(cuò)位相減法,可得Sn的表達(dá)式,進(jìn)而再由孤立參數(shù)法,可得k的取值范圍;
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了檢驗(yàn)學(xué)習(xí)情況,某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)于近期舉辦一場(chǎng)競(jìng)賽活動(dòng),分別從甲、乙兩班各抽取10名學(xué)員的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,其成績(jī)的莖葉圖如圖所示(單位:分),假設(shè)成績(jī)不低于90分者命名為“優(yōu)秀學(xué)員”.
(1)分別求甲、乙兩班學(xué)員成績(jī)的平均分(結(jié)果保留一位小數(shù));
(2)從甲班4名優(yōu)秀學(xué)員中抽取兩人,從乙班2名80分以下的學(xué)員中抽取一人,求三人平均分不低于90分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,我市某居民小區(qū)擬在邊長(zhǎng)為1百米的正方形地塊ABCD上劃出一個(gè)三角形地塊APQ種植草坪,兩個(gè)三角形地塊PAB與QAD種植花卉,一個(gè)三角形地塊CPQ設(shè)計(jì)成水景噴泉,四周鋪設(shè)小路供居民平時(shí)休閑散步,點(diǎn)P在邊BC上,點(diǎn)Q在邊CD上,記∠PAB=a.
(1)當(dāng)∠PAQ= 時(shí),求花卉種植面積S關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式,并求S的最小值;
(2)考慮到小區(qū)道路的整體規(guī)劃,要求PB+DQ=PQ,請(qǐng)?zhí)骄俊螾AQ是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng),時(shí),證明:(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A=[a﹣3,a],函數(shù) (﹣2≤x≤5)的單調(diào)減區(qū)間為集合B.
(1)若a=0,求(RA)∪(RB);
(2)若A∩B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我國(guó)南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島,小島B與小島A、小島C相距都為5n mile,與小島D相距為 n mile.小島A對(duì)小島B與D的視角為鈍角,且 .
(Ⅰ)求小島A與小島D之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積;
(Ⅱ)記小島D對(duì)小島B與C的視角為α,小島B對(duì)小島C與D的視角為β,求sin(2α+β)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,圓的極坐標(biāo)方程為,若以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求圓的參數(shù)方程;
(2)在直線坐標(biāo)系中,點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),試求的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下命題中,正確命題的序號(hào)是 . ①函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù);
②函數(shù)y=2sin(2x+ )的圖象關(guān)于x= 成軸對(duì)稱;
③已知 =(3,4), =﹣2,則向量 在向量 的方向上的投影是﹣
④如果函數(shù)f(x)=ax2﹣2x﹣3在區(qū)間(﹣∞,4)上是單調(diào)遞減的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0, ].
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