【題目】已知雙曲線的焦點在x軸上,焦距為,實軸長為2

(1)求雙曲線的標準方程與漸近線方程。

(2)若點 在該雙曲線上運動,且, ,求以 , 為相鄰兩邊的平行四邊形 的頂點 的軌跡.

【答案】(1)雙曲線的方程為 ,漸近線方程為 (2)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)焦距為 可得由實軸長為 可得 ,從而可得于是可得雙曲線的標準方程與漸近線方程;(2)設(shè)點 的坐標為 ,點 的坐標為 ,則線段 的中點 的坐標為 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 所以 ,代入雙曲線方程得結(jié)果.

試題解析:(1)由題意可知,,所以,所以雙曲線的方程為

,漸近線方程為;

(2)設(shè)點 的坐標為 ,點 的坐標為 ,

則線段 的中點 的坐標為

由平行四邊形的性質(zhì),點 也是線段 的中點,

所以有

因此 可用 , 表示,得

又由于 在曲線 上,因此,

①代入②,得

因為平行四邊形不可能有兩個以上的頂點在一條直線上,

所以動點 的軌跡是除去兩點 , 的曲線

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