Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{4}$．
（1）求φ；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）=f （$\frac{π}{2}$），即tanφ=1，結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ的值．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得f（x）的圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{4}$，
可得 f（0）=f （$\frac{π}{2}$），即sinφ=cosφ，即tanφ=1，又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）知f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），求得2kπ-$\frac{3}{4}$π≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-$\frac{3}{4}$π，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．