Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin²ωx+sinωxcosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0），且y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上取最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 本題屬于三角函數(shù)�？碱}型，也是基礎(chǔ)題型．
（1）首先需要對(duì)f（x）進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)，求出f（x）=$sin（2wx-\frac{π}{3}）$；
（2）第1題由 y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$，求出最小正周期T；利用換元法求三角函數(shù)值域．

解答 解：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式：
 f（x）=$\sqrt{3}$sin²ωx+sinωxcosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$$（\frac{1-cos2wx}{2}）+\frac{1}{2}sin2wx-\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}sin2wx-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2wx$
=$sin（2wx-\frac{π}{3}）$（ω＞0）；
（1）∵y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{4}$；
∴$\frac{π}{4}=\frac{1}{4}T$  （T為f（x）的最小正周期）；
∴T=π；
由 T=$\frac{2π}{2w}$ 知：ω=1；
（2）∵f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$；
∴當(dāng)$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值sin（-$\frac{π}{3}$）=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
此時(shí)，由$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}$知，x=0．
所以，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角函數(shù)常考題型，也是基礎(chǔ)題型．此類題型考生應(yīng)該需要熟練掌握，尤其要熟練利用三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．