Question

20．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與拋物線C的交點(diǎn)為Q，且|QF|=$\frac{5}{4}$|PQ|．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₁與拋物線C的焦點(diǎn)重合，且離心率為$\frac{1}{2}$•
（1）求拋物線C和橢圓E的方程；
（2）若過橢圓E的左焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求三角形OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S_△OAB的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（x₀，4），代入拋物線方程，結(jié)合拋物線的定義，可得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）設(shè)直線l的方程為：x=ky-1，與橢圓方程聯(lián)立，消x，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，求利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積公式，化簡整理，通過基本不等式求出最值．

解答 解：（1）設(shè)Q（x₀，4），代入由y²=2px（p＞0）中得x₀=$\frac{8}{p}$，
所以|PQ|=$\frac{8}{p}$，|QF|=$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$，
由題設(shè)得$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2．
所以C的方程為y²=4x；
∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₁與拋物線C的焦點(diǎn)重合，且離心率為$\frac{1}{2}$，
∴c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：x=ky-1，
與橢圓方程聯(lián)立，消x，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=6$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{（3{k}^{2}+4）^{2}}}$．
令k²+1=t（t≥1），S_△OAB=6$\sqrt{\frac{1}{9t+\frac{1}{t}+6}}$，
∵g（t）=9t+$\frac{1}{t}$在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）≥g（1）=10，
∴S_△OAB的最大值為10．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力．．