如圖所示,在四棱錐
中,底面
為矩形,
平面
,點
在線段
上,
平面
.
(1)證明:
平面
.;
(2)若
,求三棱錐
的體積.
(1)見解析(2)
試題分析:(1)要證
平面
,需證
與平面
內(nèi)的兩條相交直線都垂直,
由
平面
,可證
,由
平面
,可證
.根據(jù)線面垂直的判定定理,
可證
平面
.(2)設(shè)矩形
的對角線的交點為
,連結(jié)
,由(1)的結(jié)論可知
平面
,從而有
,所以矩形
為正方形,邊長為2;由
平面
,知
,因此
與
相似,可確定
的各邊長,然后由
求三棱錐
的體積.
試題解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BDE,
∴PC⊥BD.
又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC. 6分
(2)如圖,設(shè)AC與BD的交點為O,連結(jié)OE.
∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE.
由(1)知,BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC,
由題設(shè)條件知,四邊形ABCD為正方形.
由AD=2,得AC=BD=2
,OC=
.
在Rt△PAC中,PC=
=
=3.
易知Rt△PAC∽Rt△OEC,
∴
=
=
,即
=
=
,∴OE=
,CE=
.
∴V
E-BCD=
S
△CEO·BD=
·
OE·CE·BD=
·
·
·2
=
. 13分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐
中,底面
是菱形,
,
,
是
的中點,點
在側(cè)棱
上.
(1)求證:
⊥平面
;
(2)若
是
的中點,求證:
//平面
;
(3)若
,試求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若正方體的棱長為
,則球的體積為
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在等腰梯形
ABCD中,
AB∥
CD,
AB=
BC=
AD=2,
CD=4,
E為邊
DC的中點,如圖1.將△
ADE沿
AE折起到△
AEP位置,連
PB、
PC,點
Q是棱
AE的中點,點
M在棱
PC上,如圖2.
(1)若
PA∥平面
MQB,求
PM∶
MC;
(2)若平面
AEP⊥平面
ABCE,點
M是
PC的中點,求三棱錐
A
MQB的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一個空間幾何體的三視圖均是邊長為
的正方形,則以該空間幾何體各個面的中心為頂點的多面體的體積為( ).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知矩形
ABCD的頂點都在半徑為5的球
O的球面上,且
AB=8,
BC=2
,則棱錐
O-ABCD的體積為________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
一個底面為正三角形,側(cè)棱與底面垂直的棱柱,其三視圖如圖所示,則這個棱柱的體積為
______.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若將邊長為
的正方形繞其一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成圓柱的體積等于
.
查看答案和解析>>