Question

如圖，四棱錐中，底面是菱形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上．

（1）求證：⊥平面；
（2）若是的中點(diǎn)，求證：//平面；
（3）若，試求的值．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析（3）

試題分析：（1）由線面垂直判定定理，要證線面垂直，需證垂直平面內(nèi)兩條相交直線，由，是的中點(diǎn)，易得垂直于，再由底面是菱形，得三角形為正三角形，所以垂直于，（2）由線面平行判定定理，要證線面平行，需證平行于平面內(nèi)一條直線，根據(jù)是的中點(diǎn)，聯(lián)想到取AC中點(diǎn)O所以O(shè)Q為△PAC中位線．所以O(shè)Q // PA注意在寫(xiě)定理?xiàng)l件時(shí)，不能省，要全面.例如，線面垂直判定定理中有五個(gè)條件，線線垂直兩個(gè)，相交一個(gè)，線在面內(nèi)兩個(gè)；線面平行判定定理中有三個(gè)條件，平行一個(gè)，線在面內(nèi)一個(gè)，線在面外一個(gè)，（3）研究體積問(wèn)題關(guān)鍵在于確定高，由于兩個(gè)底面共面，所以求的值就轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)高的長(zhǎng)度比.
試題解析：證明：（1）因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，PA=PD，所以AD⊥PE．
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以 AD⊥BE．
因?yàn)镻E∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．         4分
（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OQ．因?yàn)镺是AC中點(diǎn)，
Q是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)Q為△PAC中位線．所以O(shè)Q//PA．  7分
因?yàn)镻A平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．        9分
（3）設(shè)四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的高分別為，，所以V_P-BCDE=S_BCDE，V_Q-ABCD=S_ABCD．  10分
因?yàn)閂_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積S_BCDE=S_ABCD．  12分
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034000582779.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．     14分