【題目】如圖,在三棱錐中,,二面角的大小為120°,點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)為的重心.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)連接,并延長與相交于點(diǎn),連接,可證得,從而得證;
(2)過點(diǎn)在中作,與相交于點(diǎn),可得,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求平面的法向量和平面的一個(gè)法向量為,再求得,進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系即可得解.
(1)證明:連接,并延長與相交于點(diǎn),連接,
因?yàn)辄c(diǎn)為的重心,所以,
在中,有,
所以,
則平面,平面,
所以平面;
(2)解:過點(diǎn)在中作,與相交于點(diǎn),因?yàn)?/span>,,則為二面角的平面角,則。
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
因?yàn)?/span>,,,則,,,,
所以
記平面的法向量,
則
令,得到平面的一個(gè)法向量,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,
令,得到平面的一個(gè)法向量,
,
設(shè)二面角的平面角為,則,
即二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的焦點(diǎn)分別為,,橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過,作平行直線,,交橢圓于兩點(diǎn),和兩點(diǎn),.
(1)求的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
Ⅰ當(dāng)時(shí),取得極值,求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn);
Ⅱ當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且時(shí),總有成立,求的取值范圍.
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【題目】(2017高考新課標(biāo)Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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【題目】命題p:x∈R,ax2﹣2ax+1>0,命題q:指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)為減函數(shù),則P是q的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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【題目】某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)中()的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:
(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?
(2)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時(shí),恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)=.
(1)若不等式的解集為,求不等式的解集;
(2)若對(duì)于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知,若方程在有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】某工廠生產(chǎn)某種型號(hào)的電視機(jī)零配件,為了預(yù)測今年月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的市場需求量,以合理安排生產(chǎn),工廠對(duì)本年度月份至月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查,銷售單價(jià)(單位:元)和銷售量(單位:千件)之間的組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | ||||||
銷售單價(jià)(元) | ||||||
銷售量(千件) |
(1)根據(jù)1至月份的數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到);
(2)結(jié)合(1)中的線性回歸方程,假設(shè)該型號(hào)電視機(jī)零配件的生產(chǎn)成本為每件元,那么工廠如何制定月份的銷售單價(jià),才能使該月利潤達(dá)到最大(計(jì)算結(jié)果精確到)?
參考公式:回歸直線方程,其中.
參考數(shù)據(jù):.
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