【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈[2,6].
(1)證明f(x)是減函數(shù);
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+sinα的最大值為0,求α的值.
【答案】
(1)解:證法一:
設(shè)2≤x1<x2≤6,
則 = ,
由2≤x1<x2≤6,得x2﹣x1>0,(x1﹣1)(x2﹣1)>0,
于是f(x1)﹣f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴函數(shù) 在[2,6]上是減函數(shù).
證法二:∵函數(shù)f(x)= ,
∴f′(x)= ,
當(dāng)x∈[2,6]時(shí),f′(x)<0恒成立,
故函數(shù) 在[2,6]上是減函數(shù)
(2)解:由(1)知f(x)在[2,6]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(2)=1.
于是1+sinα=0,即sinα=﹣1,
∴ ,k∈Z
【解析】(1)證法一:設(shè)2≤x1<x2≤6,作差判斷出f(x1)>f(x2),進(jìn)而可得:函數(shù) 在[2,6]上是減函數(shù).
證法二:求導(dǎo),根據(jù)x∈[2,6]時(shí),f′(x)<0恒成立,可得:函數(shù) 在[2,6]上是減函數(shù);(2)由(1)知f(x)在[2,6]上單調(diào)遞減,故1+sinα=0,進(jìn)而得到答案.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較),還要掌握函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x+cosα﹣2﹣x+cosα , x∈R,且 .
(1)若0≤α≤π,求α的值;
(2)當(dāng)m<1時(shí),證明:f(m|cosθ|)+f(1﹣m)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2014年5月,北京市提出地鐵分段計(jì)價(jià)的相關(guān)意見,針對(duì)“你能接受的最高票價(jià)是多少?”這個(gè)問題,在某地鐵站口隨機(jī)對(duì)50人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖及被調(diào)查者中35歲以下的人數(shù)與統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下: (Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖,求a的值,并估計(jì)眾數(shù),說明此眾數(shù)的實(shí)際意義;
(Ⅱ)從“能接受的最高票價(jià)”落在[8,10),[10,12]的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取3人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的6人中35歲以上(含35歲)的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
最高票價(jià) | 35歲以下人數(shù) |
[2,4) | 2 |
[4,6) | 8 |
[6,8) | 12 |
[8,10) | 5 |
[10,12] | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組中的函數(shù)f(x),g(x)表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=x+1,g(x)=
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=log22x , g(x)=2log2x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓C: + =1(a>b>0),稱圓C1:x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”.已知橢圓C的離心率為 ,且經(jīng)過點(diǎn)(0,1).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若過點(diǎn)P(0,m)(m>0)的直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長(zhǎng)為2 ,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合{(x,y)|x∈[0,2],y∈[﹣1,1]}
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大學(xué)生村官王善良落實(shí)政府“精準(zhǔn)扶貧”精神,幫助貧困戶張三用9萬元購(gòu)進(jìn)一部節(jié)能環(huán)保汽車,用于出租.假設(shè)第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用2萬元,從第二年起,每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加2萬元,該車每年的運(yùn)營(yíng)收入均為11萬元.若該車使用了n(n∈N*)年后,年平均盈利額達(dá)到最大值,則n等于(注:年平盈利額=(總收入﹣總成本)× )( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,關(guān)于正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , 下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.BD⊥平面ACC1A1
B.AC⊥BD
C.A1B∥平面CDD1C1
D.該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為2:1
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