Question

設(shè)a，b，c分別為一個三角形三邊的邊長，證明a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a（c-a）≥0，并指出等號成立的條件．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：不妨設(shè)a≥b≥c，此時

1

a

≤

1

b

≤

1

c

，利用a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），由排序不等式可得

1

c

•a（b+c-a）+

1

a

•b（c+a-b）+

1

b

•c（a+b-c）≤

1

a

•a（b+c-a）+

1

b

•b（c+a-b）+

1

c

•c（a+b-c）=a+b+c，重新分組整理，即可證得結(jié)論．

解答： 證明：不妨設(shè)a≥b≥c，此時

1

a

≤

1

b

≤

1

c

，
∵a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），
于是由排序不等式可得：

1

c

•a（b+c-a）+

1

a

•b（c+a-b）+

1

b

•c（a+b-c）≤

1

a

•a（b+c-a）+

1

b

•b（c+a-b）+

1

c

•c（a+b-c）=a+b+c，
∴

1

c

•a[（b-a）+c]+

1

a

•b[（c-b）+a]+

1

b

•c[（a-c）+b]≤a+b+c，
即

1

c

•a（b-a）+

1

a

•b（c-b）+

1

b

•c（a-c）≤0，同乘abc得，
a²b（b-a）+b²c（c-b）+c²a（a-c）≤0，
∴a²b（a-b）+b²c（b-c）+c²a（c-a）≥0，
上式當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

1

b

=

1

c

或者a（b+c-a）=b（c+a-b）=c（a+b-c），即a=b=c時取等號．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查排序不等式的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與與創(chuàng)新思維、抽象思維、推理證明的能力，屬于難題．