【題目】已知集合M是滿足下列性制的函數(shù)f(x)的全體,存在實數(shù)a、k(k≠0),對于定義域內(nèi)的任意x均有f(a+x)=kf(a﹣x)成立,稱數(shù)對(a,k)為函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對”.
(1)判斷f(x)=x2是否屬于集合M,并說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)=sinx∈M,求滿足條件的函數(shù)f(x)的所有“伴隨數(shù)對”;
(3)若(1,1),(2,﹣1)都是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對”,當(dāng)1≤x<2時,f(x)=cos( x);當(dāng)x=2時,f(x)=0,求當(dāng)2014≤x≤2016時,函數(shù)y=f(x)的解析式和零點.

【答案】
(1)解:f(x)=x2的定義域為R.

假設(shè)存在實數(shù)a、k(k≠0),對于定義域內(nèi)的任意x均有f(a+x)=kf(a﹣x)成立,

則(a+x)2=k(a﹣x)2,化為:(k﹣1)x2﹣2a(k+1)x+a2(k﹣1)=0,

由于上式對于任意實數(shù)x都成立,∴ ,解得k=1,a=0.

∴(0,1)是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對”,f(x)∈M


(2)解:∵函數(shù)f(x)=sinx∈M,

∴sin(a+x)=ksin(a﹣x),∴(1+k)cosasinx+(1﹣k)sinacosx=0,

sin(x+φ)=0,

x∈R都成立,∴k2+2kcos2a+1=0,

∴cos2a= , ≥2,

∴|cos2a|≥1,又|cos2a|≤1,

故|cos2a|=1.

當(dāng)k=1時,cos2a=﹣1,a=nπ+ ,n∈Z.

當(dāng)k=﹣1時,cos2a=1,a=nπ,n∈Z.

∴f(x)的“伴隨數(shù)對”為(nπ+ ,1),(nπ,﹣1),n∈Z


(3)解:∵(1,1),(2,﹣1)都是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對”,

∴f(1+x)=f(1﹣x),f(2+x)=﹣f(2﹣x),

∴f(x+4)=f(x),T=4.

當(dāng)0<x<1時,則1<2﹣x<2,此時f(x)=f(2﹣x)=﹣cos

當(dāng)2<x<3時,則1<4﹣x<2,此時f(x)=﹣f(4﹣x)=﹣cos ;

當(dāng)3<x<4時,則0<4﹣x<1,此時f(x)=﹣f(4﹣x)=cos

∴f(x)=

∴f(x)=

∴當(dāng)2014≤x≤2016時,函數(shù)y=f(x)的零點為2014,2015,2016


【解析】(1)f(x)=x2的定義域為R.假設(shè)存在實數(shù)a、k(k≠0),對于定義域內(nèi)的任意x均有f(a+x)=kf(a﹣x)成立,則(a+x)2=k(a﹣x)2 , 化為:(k﹣1)x2﹣2a(k+1)x+a2(k﹣1)=0,由于上式對于任意實數(shù)x都成立,可得 ,解得k,a.即可得出.(2)函數(shù)f(x)=sinx∈M,可得:sin(a+x)=ksin(a﹣x),展開化為: sin(x+φ)=0,由于x∈R都成立,可得k2+2kcos2a+1=0,變形cos2a= ,利用基本不等式的性質(zhì)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.(3)由于(1,1),(2,﹣1)都是函數(shù)f(x)的“伴隨數(shù)對”,可得f(1+x)=f(1﹣x),f(2+x)=﹣f(2﹣x),因此f(x+4)=f(x),T=4.對x分類討論可得:即可得出解析式,進而得出零點.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的值的相關(guān)知識點,需要掌握函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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1)求實數(shù)ab的值;

2)若fm+1+>0.求m的取值范圍.

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A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1,
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1,

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(2)已知a>0,函數(shù)f(x)的反函數(shù)為f1(x),若函數(shù)y=f(x)+f1(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為1+log23,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值.

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(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
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【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(xf(y),且f(1)=.

(1)當(dāng)nN,求f(n)的表達式;

(2)設(shè)annf(n),nN,求證:a1a2+…+an<2.

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

(1)利用f(x+y)=f(x)f(y)(x,yR)通過令x=n,y=1,說明{f(n)}是以f(1)=為首項,公比為的等比數(shù)列求出;(2)利用(1)求出an=nf(n)的表達式,利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和,即可說明不等式成立.

(1)解:f(n)=f[(n-1)+1]

f(n-1)·f(1)=f(n-1).

∴當(dāng)n≥2時,.

f(1)=

∴數(shù)列{f(n)}是首項為,公比為的等比數(shù)列,

f(n)=f(1)·()n1=()n.

(2)證明(1)可知,

ann·()nn·

設(shè)Sna1a2+…+an,

Sn+2×+3×+…+(n-1)·n·

Sn+2×+…+(n-2)·+(n-1)·n·.

②得,

Sn+…+n·

=1-,

Sn=2-<2.

a1a2+…+an<2.

【點睛】

本題考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,數(shù)列通項公式的求法和的求法,考查不等式的證明,裂項法與錯位相減法的應(yīng)用,數(shù)列通項的求法中有常見的已知的關(guān)系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等.

型】解答
結(jié)束】
22

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1a (a≠3),an1Sn+3n,nN.

(1)設(shè)bnSn-3n,求數(shù)列{bn}的通項公式;

(2)an1annN,求a的取值范圍.

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【題目】“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗,2018年春節(jié)前夕, 市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質(zhì)量指標(biāo).

(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(2)①由直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在內(nèi)的概率;

②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:①計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;

②若,則

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(1)求證:平面;

(2)若,求證:平面

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