Question

【題目】已知函數(shù) ，其中a∈R．
（1）根據(jù)a的不同取值，討論f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）已知a＞0，函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f﹣1（x），若函數(shù)y=f（x）+f﹣1（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為1+log23，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）

=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x

=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，

∴f（﹣x）=f（x），

即﹣ax﹣x=ax，

故a= ；此時函數(shù)為偶函數(shù)，

若a≠﹣ ，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)

（2）解：∵a＞0，

∴ 單調(diào)遞增，

又∵函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f﹣1（x），

∴f﹣1（x）單調(diào)遞增；

∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，

即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，

故f﹣1（1）=1﹣a，

即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，

解得，a=1；

故f（2）=2+log25

【解析】（1）由 得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，從而可得當(dāng)a= 時函數(shù)為偶函數(shù)； （2）可判斷 與f﹣1（x）都是增函數(shù)，從而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，從而解出a．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．