Question

如圖，A、C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時(shí)從A島出發(fā)，以10海里/小時(shí)的速度，沿北偏東75°方向直線航行，下午1時(shí)到達(dá)B處.然后以同樣的速度，沿北偏東15°方向直線航行，下午4時(shí)到達(dá)C島.

（Ⅰ）求A、C兩島之間的直線距離；
（Ⅱ）求∠BAC的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）70海里（Ⅱ）

本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)中的工具進(jìn)行求解，試題的難度一般不大
（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，及∠ABC=180°-75°+15°=120可考慮利用據(jù)余弦定理求AC
（2）在△ABC中，據(jù)正弦定理，得∠BAC的正弦值.
解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°………………………2分
據(jù)余弦定理，得，
所以AC＝70. ………………5分
故A、C兩島之間的直線距離是70海里.…………6分
（Ⅱ）在△ABC中，據(jù)正弦定理，得，………………8分
所以.……………11分
故∠BAC的正弦值是.…………………12分